2016考研數學應用題解題技巧

　　歷年考研試題中都涉及數學實際應用的問題，這是考察的重點和關鍵。下面就以考研真題為例，總結歸納了函數的極值和最值、積分、微分方程和概率等考研中數學應用題的四大類型以及各個類型問題的解法。

　　函數的極值和最值模型

　　函數的極值和最值的應用問題主要分為一元函數和多元函數的極值和最值的應用，解決這類問題的思路是：第一根據實際問題中的數量關系列出函數關系式及求出函數的定義域;第二利用求函數極值和最值的方法求解。

　　例如：某廠家生產的一種產品同時在兩個市場銷售，售價分別為p1，p2;銷售量分別為q1和q2;需求函數分別為q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2;總成本函數為C=35+40(q1+q2)。試問：廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤是多少?

　　分析：這是一個典型的二元函數求最值問題。首先要根據題意求出總利潤函數：總利潤=總收益-總成本;其次求出函數的定義域;最后根據二元函數求最值的方法求解即可。

　　積分模型

　　在積分的應用過程中關鍵要解決好兩個問題：一是什么樣的量可以用積分來表達;二是用什么樣的積分表達，即確定積分區(qū)域和被積表達式。

　　例如：某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功。設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數為kk>0)。汽錘第一次擊打將樁打進地下am。根據設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數r(0

　　問： (1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深?(2) 若擊打次數不限，汽錘至多能將樁打進地下多深?(注：m表示長度單位米)

　　分析：本題屬變力做功問題，可用定積分進行計算，而擊打次數不限，相當于求數列的極限。

　　微分方程模型

　　應用微分方程解決實際問題，其實就是建立微分方程數學模型，通過建立微分方程、確定定解條件、求解及對解的.分析可以揭示許多自然界和科學技術中的規(guī)律。應用微分方程解決具體問題時，首先將實際問題抽象，建立微分方程，并給出合理的定解條件;其次求解微分方程的通解及滿足定解條件的特解;最后由所求得的解或解的性質，回到實際問題。

　　例如：現有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h。經測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數為k=6.0×106)。問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少? 注：kg表示千克，km/h表示千米/小時。

　　分析：本題是以運動力學為背景的數學應用題，可通過利用牛頓第二定理，列出關系式后再解微分方程即可。

　　概率模型

　　關于概率論的應用題主要集中在古典概型、隨機變量的分布以及隨機變量的數字特征等方面。應用概率論的知識解決具體問題時，首先要分析實際問題，找出隨機變量的關系及其分布;下來是列出它們的函數關系，利用概率論的有關知識求解。

　　例如：設某企業(yè)生產線上產品的合格率為0.96，不合格產品中只有3/4的產品可進行再加工，且再加工的合格率為0.8，其余均為廢品。已知每件合格品可獲利80元，每件廢品虧損20元，為保證該企業(yè)每天平均利潤不低于2萬元，問該企業(yè)每天至少應生產多少產品?

　　分析：本題為概率論中的數學期望在經濟中的應用，有關數字特征的應用題主要是隨機變量函數的數學期望、方差等，求解這類問題的關鍵是找出函數關系。根據題設列出方程求解。

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