2016考研數(shù)學復習：定積分與不定積分定理

　　▶不定積分

　　1、原函數(shù)存在定理

　　●定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

　　●分部積分法

　　如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u。

　　2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的'原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

　　▶定積分

　　1、定積分解決的典型問題

　　(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程

　　2、函數(shù)可積的充分條件

　　●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。

　　●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

　　3、定積分的若干重要性質(zhì)

　　●性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

　　●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　●性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

　　●性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

　　4、關(guān)于廣義積分

　　設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點c(a

　　▶定積分的應用

　　1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

　　●直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

　　●極坐標系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　●旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

　　●平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)

　　●功、水壓力、引力

　　●函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

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